向量平行公式：
兩個向量平行的充要條件是它們的對應分量成比例。即，如果向量 a = (a1, a2, ..., an) 和向量 b = (b1, b2, ..., bn) 平行，則存在一個非零實數 k，使得 a1 = kb1, a2 = kb2, ..., an = kn。
另一種表達方法是檢查兩向量的外積（叉積）是否為零向量。在三維空間中，如果 a × b = 0，則 a 和 b 平行（或其中至少一個是零向量）。在二維空間中，這一概念不適用，因為叉積僅定義在三維空間中。
向量垂直公式：
兩個向量垂直的充要條件是它們的點積（內積）等于零。即，如果向量 a 和向量 b 垂直，則 a · b = 0。對于二維向量，這可以表示為 a1b1 + a2b2 = 0；對于三維向量，則是 a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0；以此類推，對于更高維度的向量也適用類似的公式。
另一種方法是檢查兩向量的外積（僅在三維空間中適用）是否非零。如果 a × b ≠ 0，則 a 和 b 垂直。然而，這種方法不適用于二維空間或更高維度，因為叉積在這些情況下沒有定義或不適用。